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Äußere und innere Funktion bestimmen

1. Einführung

Mit der Kettenregel kannst du verkettete Funktionen ableiten. Um diese wiederum anwenden zu können, musst du für eine gegebene Funktion die äußere und innere Funktion bestimmen können. Als einfache Regel kannst du dir merken, dass die äußere Funktion auch immer außen steht.

2. Beispiele

Betrachten wir dazu mal ein paar Beispiele.
Bei der Funktion $$ f(x)=\sqrt{2\cdot x-4} $$ ist \(\sqrt{x}\) die äußere Funktion, da außen die Wurzel steht. Alles, was innerhalb der Wurzel steht (also \(2\cdot x-4\)), ist dann die innere Funktion.
Für die Funktion $$ f(x)=\sqrt{\ln(x)} $$ ist ebenfalls \(\sqrt{x}\) die äußere Funktion und \(\ln(x)\) die innere Funktion.
Für $$ f(x)=\sin(\sqrt{x}) $$ ist diesmal nicht \(\sqrt{x}\) die äußere Funktion, sondern \(\sin(x)\), da \(\sin(x)\) ganz außen steht. \(\sqrt{x}\) ist die innere Funktion.
Bei der Funktion $$ f(x)=\cos(\sin(x)) $$ ist \(\sin(x)\) die innere Funktion, denn sie steht innerhalb von \(\cos(x)\). \(\cos(x)\) ist die äußere Funktion, da sie ganz außen steht.
Bei der Funktion \(f(x)=(x-2)^{2020}\) ist es vielleicht etwas schwieriger die äußere und die innere Funktion zu identifizieren. Was steht denn ganz außen? Nun, \((...)^{2020}\), d. h. die äußere Funktion ist \(x^{2020}\). Die innere Funktion ist alles, was innerhalb der Klammern steht, also \(x-2\).
Für die Exponentialfunktion $$ f(x)=2^{x^2+2\cdot x-1} $$ ist das, was ganz außen steht, quasi die "Struktur" einer Potenz. Eine Potenz setzt sich immer aus einer Basis \(a\) und einem Exponenten \(x\) zusammen. Die äußere Funktion ist also \(2^x\). Die innere Funktion ist in solchen Fällen dann das, was im Exponenten steht, also \(x^2+2\cdot x-1\).

3. Ergebnisse überprüfen

Wie kannst du überprüfen, ob du die äußere und innere Funktion richtig bestimmt hast? Ganz einfach: Du setzt die innere Funktion \(v\) für jedes \(x\) in der äußeren Funktion \(u\) ein (bildest also die Verkettung \(u(v)\) und prüfst, ob wieder die ursprüngliche Funktion herauskommt.
Für \(f(x)=\sqrt{2\cdot x-4}\) war \(u=\sqrt{x}\) die äußere und \(v=2\cdot x-4\) die innere Funktion. Wenn du für jedes \(x\) in \(u=\sqrt{x}\) \(2\cdot x-4\) einsetzt, erhältst du wieder die Ausgangsfunktion: $$ u(v)=\sqrt{2\cdot x-4}=f(x) $$
Für \(f(x)=\sqrt{\ln(x)}\) war \(u=\sqrt{x}\) die äußere und \(v=\ln(x)\) die innere Funktion. Wenn du für jedes \(x\) in \(u=\sqrt{x}\) \(\ln(x)\) einsetzt, erhältst du wieder die Ausgangsfunktion: $$ u(v)=\sqrt{\ln(x)}=f(x) $$
Für \(f(x)=\sin{\sqrt{x}}\) war \(u=\sin(x)\) die äußere und \(v=\sqrt{x}\) die innere Funktion. Wenn du für jedes \(x\) in \(u=\sin(x)\) \(\sqrt{x}\) einsetzt, erhältst du wieder die Ausgangsfunktion: $$ u(v)=\sin(\sqrt{x})=f(x) $$
Für \(f(x)=\cos(\sin(x))\) war \(u=\cos(x)\) die äußere und \(v=\sin(x)\) die innere Funktion. Wenn du für jedes \(x\) in \(u=\cos(x)\) \(\sin(x)\) einsetzt, erhältst du wieder die Ausgangsfunktion: $$ u(v)=\cos(\sin(x))=f(x) $$
Für $$f(x)=(x-2)^{2020}$$ war \(u=x^{2020}\) die äußere und \(v=x-2\) die innere Funktion. Wenn du für jedes \(x\) in \(u=x^{2020}\) \(x-2\) einsetzt, erhältst du wieder die Ausgangsfunktion: $$ u(v)=(x-2)^{2020}=f(x) $$
Für \(f(x)=2^{x^2+2\cdot x-1}\) war \(u=2^{x}\) die äußere und \(v=x^2+2\cdot x-1\) die innere Funktion. Wenn du für jedes \(x\) in \(u=2^{x}\) \(x^2+2\cdot x-1\) einsetzt, erhältst du wieder die Ausgangsfunktion: $$ u(v)=2^{x^2+2\cdot x-1}=f(x) $$