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Geometrische Reihe: Konvergenz und Divergenz

1. Einführung

Eine geometrische Reihe besitzt im Allgemeinen die folgende Gestalt: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^k}$$ Statt eines \(k\) kann dort auch ein \(i\), ein \(j\) oder jeder beliebige andere Buchstabe stehen. \(q\) ist eine beliebige reelle Zahl und \(k\) der Exponent. Wenn eine Reihe diese Form hat, dann konvergiert sie für \(|q|\lt 1\) und divergiert für \(|q|\geq 1\). Schauen wir uns dazu direkt ein paar Beispiele an:
  • Die Reihe \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{2^k}\) divergiert, weil \(|2|=2\geq 1\) ist.
  • Die Reihe \(\sum\limits_{i=0}^{\infty}{(0.5)^i}\) konvergiert, weil \(|0.5|=0.5\lt 1\) ist.
  • Die Reihe \(\sum\limits_{j=0}^{\infty}{(-3)^j}\) divergiert, weil \(|-3|=3\geq 1\) ist.
  • Die Reihe \(\sum\limits_{l=0}^{\infty}{(-0.3)^l}\) konvergiert, weil \(|-0.3|=0.3\lt 1\) ist.
Gar nicht so schwer, oder? Du musst lediglich erkennen, ob es sich bei einer Reihe um eine geometrische Reihe handelt und kannst dann ganz einfach dieses Kriterium anwenden. Manchmal sieht man nicht direkt, dass eine geometrische Reihe vorliegt. Betrachten wir zur Übung dazu die folgenden Beispiele:
  • \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{3^k}{2^k}}\) ist eine geometrische Reihe, da du mithilfe der Potenzgesetze den Bruch \(\frac{3^k}{2^k}\) zu \(\left(\frac{3}{2}\right)^k\) umschreiben kannst. Da der Betrag von \(q\) mit \(\frac{3}{2}\) größer als \(1\) ist, divergiert die Reihe.
  • Auch \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{3^k}}\) ist eine geometrische Reihe, denn du kannst mithilfe der Potenzgesetze auch \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1^k}{3^k}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{3}\right)^k}\) schreiben. Jetzt siehst du, dass \(|q|\) gleich \(\frac{1}{3}\) ist und da \(\frac{1}{3}\lt 1\) ist, konvergiert diese Reihe.
  • \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5}{2^k}}\) ist ebenfalls eine geometrische Reihe. Die \(5\) im Zähler ist eine Konstante, da er nicht von \(k\) abhängt. Deshalb kann sie direkt vor das Summenzeichen geschrieben werden: \(5\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{2^k}}\). Jetzt kann die Reihe wieder mithilfe des Potenzgesetzes umgeformt werden: \(5\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^k}\). Da der Betrag von \(q\) mit \(\frac{1}{2}\) kleiner als \(1\) ist, konvergiert die Reihe.

2. Die Grenzwertformel für geometrische Reihen

Immer dann, wenn eine geometrische Reihe konvergiert, dann können wir einen Grenzwert angeben. Dieser wird über die Grenzwertformel für geometrische Reihen berechnet. Auf der linken Seite dieser Formel findest du eine geometrische Reihe und auf der rechten Seite den Ausdruck \(\frac{1}{1-q}\): $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^k}=\frac{1}{1-q}$$ Da im Konvergenzfall der Betrag von \(q\) kleiner als \(1\) ist, kommt es im Nenner auf der rechten Seite der Gleichung zu keinem Problem! Beachte, dass die Ausgangsformel beim Startwert \(0\) beginnt. Das ist wichtig, um die Grenzwertformel anwenden zu können. Betrachten wir als Beispiel die folgende geometrische Reihe: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2}{3^k}}$$ Zwei ist ein konstanter Faktor, den wir vor das Summenzeichen ziehen können: $$\Longleftrightarrow 2\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{3^k}}$$ Unter Anwendung der Potenzgesetze können wir die Summenformel zu $$\Longleftrightarrow 2\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{3}\right)^k}$$ umformen. Da \(|q|=\frac{1}{3}\lt 1\) ist, konvergiert die geometrische Reihe und wir können den Grenzwert berechnen. Die Laufvariable \(k\) startet bei \(0\), d. h. wir ersetzen die Reihe durch den Ausdruck \(\frac{1}{1-q}\): $$2\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{3^k}} = 2\cdot \left(\frac{1}{1-\underbrace{\frac{1}{3}}_{=q}}\right)= 2\cdot \left(\frac{1}{\frac{2}{3}}\right)=2\cdot \frac{3}{2}=3$$

3. Was ist, wenn der Startwert nicht 0 ist?

Was passiert, wenn der Startwert nicht \(0\), sondern z. B. \(1\) ist? $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{2}{3}\right)^k}$$ Dann musst du eine Indexverschiebung vornehmen, sodass die Reihe nicht bei \(1\), sondern \(0\) startet. Wir subtrahieren also vom Start- und Endwert jeweils \(1\) und addieren den subtrahierten Wert überall dort, wo die Laufvariable in der Reihe vorkommt: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{2}{3}\right)^k}=\sum\limits_{k=1-1}^{\infty-1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{k+1}} =\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{2}{3}\right)^{k+1}}$$ Mit den Potenzgesetzen kannst du \(\left(\frac{2}{3}\right)^{k+1}\) zu \(\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\cdot \frac{2}{3}\) umformen und jetzt wie bei den anderen Beispielen fortfahren. $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\cdot\frac{2}{3}} =\frac{2}{3}\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{2}{3}\right)^{k}}=\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) =\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot 3 = 2$$