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Herleitung der Reziprokenregel

Wie kann man die Reziprokenregel $$ \left(\frac{1}{v}\right)'=\frac{-v'}{v^2} $$ herleiten? Beim Herleiten von Formeln verwendet man möglichst allgemeine Beschreibungen. Da die abzuleitende Funktion der Quotient aus einer Zählerfunktion und einer Nennerfunktion ist, kannst du hierauf die Quotientenregel anwenden. Die Zählerfunktion ist \(1\) und die Nennerfunktion ist \(v\). Die Quotientenregel lautet $$ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} $$ Die Zählerfunktion \(u\) ist hier \(1\), d. h. die Ableitung \(u'\) der Zählerfunktion ist \(0\). Die Nennerfunktion \(v\) ist mit der Ableitung \(v'\) bereits gegeben. Jetzt musst du im Prinzip nur noch Einsetzen: $$ \left(\frac{1}{v}\right)'=\frac{0\cdot v-1\cdot v'}{v^2}=\frac{-v'}{v^2} $$ Als Ergebnis erhältst du genau die Reziprokenregel, die herzuleiten war. Wenn du dir diese merkst, kannst du auf die schrittweise Herleitung der Ableitung von Funktionen des Typs "1 geteilt durch irgendwas" mit der Quotientenregel verzichten.