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Hexadezimalzahl in Binärzahl umrechnen

1. Einführung

Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem man Hexadezimalzahlen direkt in Binärzahlen umrechnen kann ohne den Umweg über das Dezimalsystem zu gehen. Dies spart bei der Umwandlung sehr viel Rechenaufwand (insbesondere für Hexadezimalzahlen mit vielen Stellen).

2. Der Algorithmus

Um die Umwandlung vornehmen zu können, benötigst du eine Übersetzungstabelle, die alle Hexadezimalziffern mit ihren Darstellungen im Binärsystem enthält. Da das Hexadezimalsystem ein Zahlensystem zur Basis \(g=16\) ist, gibt es die Ziffern \(0\) bis \(f\). Zur Erinnerung: Im Hexadezimalsystem fängt man bei \(0\) zu zählen an und wenn man die \(9\) erreicht hat, geht es mit Buchstaben \(a,b,c,d,e\) und \(f\) weiter. \(f\) entspricht dabei der höchsten Hexadezimalziffer, nämlich der \(15\).
$$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Hexadezimalzahl}&\text{Binärzahl} \\\hline 0&0000 \\\hline 1&0001 \\\hline 2&0010 \\\hline 3&0011 \\\hline 4&0100 \\\hline 5&0101 \\\hline 6&0110 \\\hline 7&0111 \\\hline 8&1000 \\\hline 9&1001 \\\hline a&1010 \\\hline b&1011 \\\hline c&1100 \\\hline d&1101 \\\hline e&1110 \\\hline f&1111 \\\hline \end{array} $$
Mit dieser Tabelle ist es nun möglich, den Algorithmus zu definieren und anschließend auch anzuwenden.
Algorithmus: Hexadezimalzahl in Binärzahl umrechnen

Eingabe: Hexadezimalzahl \(h\)
Ausgabe: \(h\) im Binärsystem
  1. Übersetze jede Hexadezimalziffer in \(h\) mit der Übersetzungstabelle in eine Binärzahl.
  2. Schreibe die übersetzten Binärzahlen in der Reihenfolge der Hexadezimalziffern auf.

3. Beispiel

Die Hexadezimalzahl $$4b1d$$ soll ins Binärsystem übersetzt werden. Jede der Ziffern \(4,b,1\) und \(d\) wird mit der Übersetzungstabelle in eine Binärzahl übersetzt.
  1. \(4\) wird zu \(0100\)
  2. \(b\) wird zu \(1011\)
  3. \(1\) wird zu \(0001\)
  4. \(d\) wird zu \(1101\)
Das Ergebnis lautet also: $$0100101100011101$$ Die führende \(0\) kann auch weggelassen werden.
Ein weiteres Beispiel: die Hexadezimalzahl $$face$$ soll ins Binärsystem übersetzt werden. Jede der Ziffern \(f,a,c\) und \(e\) muss wieder mit der Übersetzungstabelle in eine Binärzahl übersetzt werden.
  1. \(f\) wird zu \(1111\)
  2. \(a\) wird zu \(1010\)
  3. \(c\) wird zu \(1100\)
  4. \(e\) wird zu \(1110\)
Das Ergebnis lautet also: $$1111101011001110$$

4. Aufgabe mit Lösung

Wandle die Hexadezimalzahl $$badeaffe$$ ins Binärsystem um. Jede Ziffer der umzuwandelnden Zahl wird mit der Übersetzungstabelle ins Binärsystem übersetzt.
  1. \(b\) wird zu \(1011\)
  2. \(a\) wird zu \(1010\)
  3. \(d\) wird zu \(1101\)
  4. \(e\) wird zu \(1110\)
  5. \(a\) wird zu \(1010\)
  6. \(f\) wird zu \(1111\)
  7. \(f\) wird zu \(1111\)
  8. \(e\) wird zu \(1110\)
Das Ergebnis lautet also: $$10111010110111101010111111111110$$