· 

Komplizierte Ableitungen schrittweise berechnen

1. Einführung

Viele haben Probleme mit dem Ableiten von zusammengesetzten Funktionen. Damit sind Funktionen gemeint, die ineinander verschachtelt sind und auf die man dann verschiedene Ableitungsregeln gleichzeitig anwenden muss. Es gibt jedoch einen einfachen Trick, mit dem du auch solche Monster bezwingen kannst: $$f(x)=x^2\cdot \sin(e^x+2x)$$ Diesen Trick kannte sogar schon Julius Cäsar und er hat ihn regelmäßig angewendet, nämlich "teile und herrsche!". Wenn du das Problem in mehrere kleine Teilprobleme zerlegst, die sich leicht lösen lassen, kannst du dich der Lösung des komplexen Problems Schritt-für-Schritt nähern.
Du solltest dabei die Ableitungsregeln im Kopf haben. Diese bilden die Schablonen, mit denen du das Teilen der Funktion in einfach zu verdauende Häppchen hinbekommmst. Betrachte nun erstmal nur die Gestalt der Funktionen, auf die man die jeweiligen Ableitungsregeln anwendet:
  • Summenregel: \(u(x) + v(x)\)
  • Produktregel: \(u(x)\cdot v(x)\)
  • Quotientenregel: \(\frac{u(x)}{v(x)}\)
  • Kettenregel: \(u(v(x))\)
Doch wie genau helfen dir diese Muster weiter?

2. Herangehensweise

Hierzu betrachten wir die Funktion nun etwas genauer, um sie nach dem Prinzip "Teile und Herrsche" abzuleiten: $$f(x)=x^2\cdot \sin(e^x+2x)$$ Wenn wir von "ganz weit oben" auf die Funktion herabschauen, dann erkennen wir, dass sie das Produkt aus zwei Funktionen ist, nämlich \(u(x)=x^2\) und \(v(x)=\sin(e^x+2x)\). Wir wissen nun, dass wir auf diese beiden Funktionen die Produktregel anwenden müssen.
Schauen wir uns nun die Funktion \(u(x)=x^2\) an. Hier können wir die Ableitung sehr leicht bestimmen und sind so quasi an einer Form angelangt, die sich nicht sinnvoll weiter zerteilen lässt ohne den Ableitungsprozess zu verkomplizieren.
Die rechte Funktion \(v(x)=\sin(e^x+2x)\) sieht jedoch noch sehr zusammengesetzt aus. Hier kann noch geteilt werden! Wenn wir wieder "von oben" herabschauen, dann sehen wir, dass es sich im Prinzip einfach nur um eine Sinusfunktion handelt, in der irgendetwas drinsteht. Das lässt darauf schließen, dass hier die Kettenregel angewendet werden muss, denn wenn wir näher heranzoomen, dann sehen wir, dass sich innerhalb der Sinusfunktion noch eine weitere zusammengesetzte Funktion verbirgt. Die äußere Funktion \(u(x)\), die auch tatsächlich außen steht (!), ist der Sinus. Die innere Funktion \(v(x)\), die innerhalb der Sinusklammern steht, ist \(v(x)=e^x+2x\).
Diese innere Funktion setzt sich wiederum aus zwei Funktionen zusammen, die mit dem \(+\) addiert werden, d. h. hier findet die Summenregel Anwendung. Der erste Summand ist die Funktion \(e^x\) und der zweite Summand die Funktion \(2x\).
So, und jetzt hast du bereits alles so weit aufgeteilt, dass die einzelnen Teilprobleme sehr leicht zu lösen sind. Du bildest nämlich nun für all diese Funktionshäppchen die Ableitung und setzt sie dann mit den Ableitungsregeln zusammen, die du in dem vorherigen Video gelernt hast:
  • \(\left(x^2\right)'=2x\)
  • \(\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)\)
  • \(\left(e^x\right)'=e^x\)
  • \(\left(2x\right)'=2\)
Nun setzt du die so ermittelten Ableitungen einfach gemäß den Ableitungsregeln zusammen. Also zuerst \((x^2)'\cdot \sin(e^x+2x)+x^2\cdot \sin(e^x+2x)'\). Jetzt muss noch \(\sin(e^x+2x)\) abgeleitet werden. Die Kettenregel sagt uns, dass wir zuerst die äußere Funktion (also Sinus) ableiten, die innere Funktion einsetzen sollen und anschließend die innere Funktion nachdifferenzieren (also abgeleitet dranmultiplizieren) sollen.
Wie lautet die Ableitung der inneren Funktion? Nun, diese ist die Summe der Ableitungen von \(e^x\) (also unverändert \(e^x\)) und \(2x\) (also nur die \(2\)). Wir haben beim Nachdifferenzieren die Summenregel angewendet.
Diesen Ausdruck könnte man nun versuchen weiter zu vereinfachen, was wir uns an dieser Stelle aber sparen.