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Qubits (Quantenbits)

1. Einführung

Klassische Computer arbeiten mit zwei verschiedenen Zuständen, nämlich \(0\) und \(1\). Mit dieser binären Information lassen sich alle Aufgaben, die heutige Rechner ausführen können, abbilden.
In der Quanteninformatik beschäftigt man sich mit Quantencomputern, bei denen es nicht nur die Zustände \(0\) und \(1\), sondern einen weiteren Zustand gibt, der eine Überlagerung der beiden Zustände \(0\) und \(1\) ist, doch dazu später mehr.

2. Schrödingers Katze

Du hast bestimmt schon von Schrödingers Katze gehört, oder? Das ist ein Gedankenexperiment, das von dem Physiker Erwin Schrödinger im Jahre \(1935\) formuliert wurde, um das quantenmechanische Phänomen der Superposition zu veranschaulichen. Dabei gehen wir von einem verschlossenen Behälter aus, in dem sich eine Giftampulle, eine radioaktive Substanz, ein Detektor, ein Hammer und eine Katze befinden. Die Menge der radioaktiven Substanz ist so gewählt, dass es innerhalb einer Stunde gleichwahrscheinlich ist, dass die radioaktive Substanz zerfällt oder nicht. Wenn sie zerfällt, erkennt das der Detektor, der mit dem Hammer die Giftampulle zerstört, wodurch die Katze stirbt. Da wir die Kiste nur von außen sehen, ist der Zustand der Katze eine Überlagerung (Superposition) der Zustände "lebendig" und "tot". Solange wir die Kiste nicht öffnen, ist die Katze für uns gleichzeitig zu 50% tot und zu 50% lebendig. Erst wenn wir die Kiste öffnen, sehen wir, ob die Katze noch lebt oder nicht.
Was hat das nun mit Quantencomputern zu tun? Nun, eine ganze Menge! Quantencomputer arbeiten mit sogenannten Qubits (Quantenbits). Diese können die drei Zustände \(0, 1\), sowie \(0\) und \(1\) gleichzeitig besitzen. Der Zustand eines Qubits ist vergleichbar mit dem der Katze. Solange wir die Kiste nicht geöffnet haben, ist die Katze zu je 50% tot und lebendig (also \(0\) und \(1\) zugleich). Wenn wir die Kiste geöffnet haben, sehen wir, dass die Katze entweder tot (\(0\)) oder lebendig (\(1\)) ist. Die Aktion "Kiste öffnen" entspricht bei Qubits dem Vorgang des Messens, d. h. sobald man in einem überlagerten Zustand eine Messung durchführt, wird dieser Überlagerungszustand zerstört und man erhält entweder den Zustand \(0\) (tot) oder \(1\) (lebendig).

3. Das Quantenbit

Doch mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt beim Messen eine \(0\) bzw. eine \(1\) heraus? Dazu betrachten wir die formale Definition eines Qubits. Zuvor sei gesagt, dass man in der Quantenmechanik, die Basis für die Quanteninformatik ist, Zustände üblicherweise in der Bra-Ket-Notation aufschreibt, d. h. um den Zustand \(x\) kommen Klammern der Form \(\left\vert x\right\rangle \). Der klassische Bit-Zustand \(0\) wird in der Quantenwelt also zu \(\left\vert 0\right\rangle \) und \(1\) zu \(\left\vert 1\right\rangle \).
Definition: Qubit

Ein Quantenbit \(\left\vert \psi \right\rangle\) ist eine Informationseinheit, die Zustände in der Form $$\left\vert \psi\right\rangle = \alpha \cdot\left\vert 0\right\rangle+\beta\cdot \left\vert 1\right\rangle $$ annimmt. Dabei sind \(\alpha\) und \(\beta\) komplexe Zahlen (\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\)), für die $$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$ gilt. \(\alpha\) und \(\beta\) heißen Amplituden.
Nur dann, wenn die Bedingung \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\) erfüllt ist, besitzt das Quantenbit \(\left\vert \psi\right\rangle\) einen gültigen Zustand.

4. Quantenmünzwurf

Mit den Amplituden \(\alpha\) und \(\beta\) lässt sich berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das Quantenbit nach der Messung im Zustand \(\left\vert 0\right\rangle\) bzw. \(\left\vert 1\right\rangle\) befindet:
  • \(|\alpha|^2\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Qubit nach der Messung im Zustand \(\left\vert 0\right\rangle\) ist.
  • \(|\beta|^2\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Qubit nach der Messung im Zustand \(\left\vert 1\right\rangle\) ist.
Mal angenommen, du möchtest einen Münzwurf mit einem Quantencomputer simulieren: Wie würde dann die Amplituden aussehen? Nun, du weißt, dass für ein Qubit die Eigenschaft \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\) gelten muss. Zudem weißt du, dass zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(|\alpha|^2\) bzw. \(|\beta|^2\) berechnet wird. Damit beide Ausgänge (also \(\left\vert 0\right\rangle \) und \( \left\vert 1\right\rangle\)) nach dem Messen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten, muss $$|\alpha|^2=|\beta|^2=\frac{1}{2}$$ sein. Dies ist dann der Fall, wenn $$|\alpha|=|\beta|=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ ist, denn $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}$$ Ein Qubit in dem Zustand $$\left\vert \psi\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left\vert 0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left\vert 1\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(\left\vert 0\right\rangle+\left\vert 1\right\rangle\right)$$ liefert beim Messen mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Zustände \(\left\vert 0\right\rangle\) bzw. \(\left\vert 1\right\rangle\).
Wie man ein Qubit in einen solchen Überlagerungszustand versetzen kann, lernst du in meinem Artikel zur Hadamard-Transformation.

5. Qubits als Vektoren und im Einheitskreis

Man kann die Qubit-Zustände auch mithilfe von Vektoren darstellen, nämlich durch $$\left(\begin{matrix}\alpha\\\beta \end{matrix}\right)$$ Warum das funktioniert wirst du nachher sehen, wenn wir uns Qubits im Einheitskreis anschauen. Wenn du also ein Qubit \(\left\vert \psi\right\rangle\) in der Form $$\left\vert\psi\right\rangle = \left(\begin{matrix}\alpha\\\beta \end{matrix}\right)$$ darstellen kannst, dann ergibt sich die Linearkombination $$ \left\vert\psi\right\rangle = \left(\begin{matrix}\alpha\\\beta \end{matrix}\right) = \alpha\cdot \left(\begin{matrix}1\\0 \end{matrix}\right) + \beta \cdot\left(\begin{matrix}0\\1 \end{matrix}\right)$$ Das wiederum bedeutet, wenn du dir die Darstellung eines Qubits in der Form $$\left\vert \psi\right\rangle = \alpha \cdot\left\vert 0\right\rangle+\beta\cdot \left\vert 1\right\rangle$$ anschaust, dass $$\left\vert 0\right\rangle = \left(\begin{matrix}1\\0 \end{matrix}\right)$$ und $$ \left\vert 1\right\rangle = \left(\begin{matrix}0\\1 \end{matrix}\right) $$ ist: $$ \left\vert\psi\right\rangle = \alpha\cdot \underbrace{\left(\begin{matrix}1\\0 \end{matrix}\right)}_{\left\vert 0\right\rangle } + \beta \cdot\underbrace{\left(\begin{matrix}0\\1 \end{matrix}\right)}_{\left\vert 1\right\rangle } $$
Letztendlich handelt es sich bei einem Qubit also um eine Linearkombination der beiden Basisvektoren \(\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)\) und \(\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)\). Diese kannst du auch wie folgt im Einheitskreis darstellen:
Auf der \(x-\)Achse befindet sich der Zustand \(\left\vert 0\right\rangle \) und auf der \(y-\)Achse der Zustand \(\left\vert 1\right\rangle \). Auf der Linie des Einheitskreises liegt dann das Qubit, das eine Linearkombination der beiden Basisvektoren ist. Warum genau auf dem Einheitskreis? Nun, du weißt, dass für einen gültigen Qubit-Zustand die Bedingung \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\) erfüllt sein muss. Demnach ist jedes Qubit, das sich innerhalb oder außerhalb des Einheitskreises befindet, nicht gültig.